B. BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

Barisan Aritmatika

(1) 3, 7, 11, 15, 19, …

(2) 30, 25, 20, 15, 10,…

Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan c.

Barisan (l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar.

Barisan (2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil.

Suatu barisan U1, U2, U3,….disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai Untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (l).

3, 7, 11, 15, 19, …

Misalkan U1, U2, U3 , …. adalah barisan aritmetika tersebut maka

U1 = 3 =+ 4 (0)

U2 = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1)

U3 = 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2)

….

Un = 3 + 4(n-1)

Secara umum, jika suku pertama (U1) = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n – 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan

Un = a + b(n-1)

Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun.

U1, U2, U3, …….Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika

U2 – U1 = U3 – U2 = …. = Un – Un-1 = konstanta

Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n

Barisan Aritmatika

Secara umun U1,U2,U3,…..Un adalah barisan aritmatika .jika U1-U1= U3=U4 –U3 =…..=Un – Un-1=konstanta, konstanta ini disebut beda dan dinyatakan dengan b.

Jadi,pada setiap barisan aritmatika berlaku Un – Un – 1 = b dengan Un= suku ke –n.

Un = a +(n – 1)b

2.Rumus untuk suku ke –n

Rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah : ,dengan n ≥ 1 dan n bilangan bulat.

Keterangan : Un =besar suku ke – n ; a=suku pertama b=beda (Un -Un-1)

Contoh:

1. suku ketiga sebuah barisan aritmatika adalah 11 dan suku ke tujuh adalah 19.

Tentukan :

1. Beda dan suku pertama b.suku kedua puluh c.suku ke-n

Jawab:

1. Un = a +(n – 1)b b. Un = a + (n – 1 )b c. Un = a + ( n – 1 )b

U3 = 11,U7 = 19 U20 = 7 + ( 20 – 1 )2 = 7 + ( n – 1 )2

U7 = a + 6b = 19 = 7 + 38 = 7 + 2n – 2

U3 = a +2b = 11 U20 = 45 = 2n + 5

4b = 8 jadi , rumus suku ke – n adalah

b = 2 2n + 5.

a + 2 . 2 = 11

a + 2b = 11 a + 4 = 11

a = 7

jadi, bedanya 2 dan suku pertama = 7

2 . Diketahui barisan aritmatika : 2, -1 , -4 , -7 ,…..suku keberapa yang nilainya -31 ?

Jawab:

a = 2; b = -1 – 2 = -3 ; Un = – 31 =

Un = a + ( n – 1 )b

-31 = 2 + ( n – 1 )(-3)

-31 = 2 – 3n + 3

3n = 5 + 31

3n = 36

n = 12

jadi, suku yang bernilai -31 adalah suku kedua belas.

Deret Aritmatika

Seperti telah dibahas sebelumnya, deret adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku pada sebuah barisan. Jika U1, U2, U3, … barisan aritmetika. U1, U2, U3, … adalah deret aritmetika.

Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, perhatikan kembali deret yang dihasilkan barisan (l ).

3 +7 + 1l + 15 + 19 + …

Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.Sn maka S dari deret di atas adalah :

Perhatikan jumlah 5 suku pertama, S yang diperoleh. Angka 3 pada perhitungan tersebut berasal dari suku pertama, sedangkan l9 adalah suku ke-5. Oleh karena itu, jumlah suku ke-n adalah

Jika nilai Un tidak diketahui, kita gunakan rumus Un, barisan aritmetika, yaitu Un = a + (n-1)b, sehingga jumlah n suku pertama adalah

jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmetika yang suku pertamanya a dan beda b adalah

Untuk memudahkan perhitungan Sn suatu deret aritmetika, perhatikan hal-hal berikut. a. Jika diketahui suku pertama a dan beda b, gunakan rumus b. Jika diketahui suku pertama dan suku ke-n,gunakan rumus

Deret aritmatika

Bentuk umum barisan aritmatika adalah a,a + b , a + 2b, …… , a + (n – 1 )b.jika suku-suku dari suatu barisan aritmatika dijumlahkan , maka terjadilah deret aritmatika .adapun rumus jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmatika dinyatakan denagan Sn yang dapat dicari sebagai berikut.

Sn = (a + Un) atau Sn = (2a + (n – 1 )b), dimana Un = Sn – Sn – 1

Contoh :

1. Berapakah jumlah deret : 3 + (-1 ) + (-5 ) + ….. +(-57 )?

Jawab :

Un = a +(n – 1)b jumlah deret Sn = (a + Un)

Diketahui a = U1­ = 3 S16 = (3 + (-57))

b = (-1) – 3 = -4 S16 = 8 (-54)

suku terakhir Un = -57 S16 = – 432

Un = a +(n – 1)b JADI, JUMLAH DERET TERSEBUT ADALAH – 432

-57= 3 + (n – 1 )(-4)

-60= -4n + 4

-64= -4n

n= 16

1. Suku ke-2 suatu barisan aritmatika adalah -2 dan suku ke-7 adalah 8.

Tentukan:a.beda dan suku petamanya ,b.jumlah 20 suku pertama ,c.jumlah n suku pertama.

Jawab:

1. Un = a +(n – 1)b b. Sn = (2a + (n – 1 )b) c. Sn = (2a + (n – 1 )b)

U2 = -2,U7 = 8 S20 = (2(-4) + (20 – 1 )2) = (2(-4) + (n – 1 )2)

U7 = a + 6b = 8 = 10 (-8 + 38 ) = (-8 + 2n – 2)

U2 = a + b = -2 S20 = 300 = ( 2n – 10)

5b = 10 Sn = n2 – 5n

b = 2

a +b = -2 => a + 2 = -2 . a = -4

C. BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Barisan Geometri

Suatu barisan U1, U2, U3, ….disebut barisan geometri jika perbandingan dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai perbandingan yang tetap itu disebut rasio.

Bagaimana cara menentttkan suku ke-n tanpa harus menentukan semua suku sebelumnya?

Suatu barisan geometri disebut barisan geometri rurun jlka 0 < r l.

Contoh :

Tentukan suku ke-10 dari barisan geometri 4, 8, 16, …!

Jawab :

Dari Barisan Geometri 4, 8, 16, …, diperoleh suku pertama a = 4 dan rasio r = 2 sehingga

Barisan Geometri

Un = a . rn-1

Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang memiliki perbandingan(rasio)antara dua buah suku terdekat beturut-turut selalu tetap.secara umun di tulis a,ar,ar2,…….,arn-1

rumus suku ke-n dari barisan geometri adalah

keterangan :

a = suku pertama ; n = banyaknya suku ; r = rasio = r =

suku – suku barisan geometri adalah :

U1 = a U4 = ar2 x r = ar2

U2 = a x r = ar U5 = ar3 x r = ar 4

U3 = ar x r = ar2

Dan seterusnya

UK = a . rk-1 Un = a . rn-1

contoh :

tentukan suku pertama , rasio dan suku kedelapan dari barisan geometri berikut ini!

1. 2, 6, 18, 54, ……..
2. -1, -2, -4, -8,……..
3. -32, 16, -8, 4, ………..

Jawab :

1. 2, 6, 18, 54, …. b . -1, -2, -4, -8, ….. c. -32, 16, -8, 4, ………..

Un = a . rn-1 Un = a . rn-1 Un = a . rn-1

a = 2, r = = 3 , n = 8 a = -1, r = = 2 , n = 8 a = -32, r = = , n = 8

U8 = 2 (3)8-1 U8 = -1(3)8-1 U8 = -32(- )8-1 = -32 (- )7

= 2 (3)7 = -1 (2)7 = -32 x (- )= =

=2 X 2.187 = -1 X 128

=4.374 =-128

Deret Geometri

Bentuk penjumlahan dari barisan geometri U1, U2, U3, …, yaitu U1 + U2 + U3 +… disebut deret geometri.

a + ar² + ……. + arn-1 disebut deret geometri

a = suku awal

r = rasio

n = banyak suku

Jumlah n suku

Keterangan:

* Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
* Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku

Un > Un-1

* Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku

Un < Un-1

Bergantian naik turun, jika r < 0

Berlaku hubungan Un = Sn – Sn-1

Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

_______ ________

Ut = √ U1xUn = √U2 X Un-1 ……dst.

Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

Advertisements